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sinx/x についてx→0の極限値【特殊な解法-3】

特殊な解法解析学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

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uchii-memo.hatenablog.com

問題

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$ を求めよ．

（備考）

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ はsinc(シンク)関数と呼ばれているらしい．

解法

３つの図形の大小関係を比較する．

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まずは上図のような三角形を考える．

高さが $\sin x$ のため，この三角形の面積 $S_1$ は以下のように表せる．

$\displaystyle S_1=\frac{\sin x}{2}$

f:id:uchii-room:20190630141141p:plain

次に，上図のような扇型を考える．

この扇型の面積 $S_2$ は以下のように表される．

$\displaystyle S_2=\pi\frac{x}{2\pi}=\frac{x}{2}$

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最後に，上手のような直角三角形を考える．

高さが $\tan x$ で表されるため，この直角三角形の面積 $S_3$ は以下のようになる．

$\displaystyle S_3=\frac{\tan x}{2}$

３つの図形を重ね合わせてみる．

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図形の面積を比較すると以下がいえる．（ $S_1=$ ピンク， $S_2=$ 紫， $S_3=$ 青）

$S_1\lt S_2\lt S_3$

$\displaystyle \frac{\sin x}{2}\lt\frac{x}{2}\lt\frac{\tan x}{2}$

上式を変形すると．

$\displaystyle \sin x\lt x\lt\frac{\sin x}{\cos x}$

$\displaystyle 1\lt\frac{x}{\sin x}\lt\frac{1}{\cos x}$

$\displaystyle 1\gt\frac{\sin x}{x}\gt\cos x$

各々で極限をとると，

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}1\gt\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\gt\lim_{x\rightarrow 0}\cos x$

$\displaystyle 1\gt\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\gt 1$

はさみこみの原理より以下がいえる．

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$

最後に

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