【オイラーの多面体定理】理由を直観的に理解する
はじめに
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記事の目的：オイラーの多面体定理が成り立つ理由を説明する．
「オイラーの多面体定理」とは
オイラーの多面体定理
あらゆる多面体において，次の等式が成立する．
（頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）＝２
例えば…
立方体（または，直方体）
頂点の数＝８つ，辺の数＝１２つ，面の数＝６つなので，
８ー１２＋６＝２
「頂点の数ー辺の数＋面の数＝２」が成り立つ
また，４面体，6面体，12面体，…など存在しうる立体全てで，この定理が成り立つ．
この記事の目標：「オイラーの多面体定理」が成り立つことを直観的に理解する．
実験
「オイラーの多面体定理」を理解するために，多面体の中でも比較的に簡単な立方体で実験する．
多面体の２次元化
①立方体の一番上の面を取り外す
コップのような形になった．
面の数が１減った.（面が１つ少ないことを覚えておいてください．）
②つぶして２次元として考える
立体で考えると難しいため，①で作ったコップのような形を潰して平面にします．
上図のように，正方形と台形が組み合わさった図形を考えることにします．
潰す前後で，頂点も辺も面も数の関係が変わっていないことがわかります．
よって多面体定理を検証する上で，差し障りはありません．
図形の簡略化
③三角形に切り分ける
②で作った図形を線で区切り，すべて三角形で構成させます．
ここで，線と面の関係について考えてみます．
線を一本付け足す→面は２つに分かれる
なので，
辺が１つ増える→面も１つ増える
多面体定理：（頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）＝２
辺の数が＋１，面の数が＋１されても等式は成立する.
（お互い打ち消しあって，全く影響されないことがわかる．）
よって三角形に切り分ける行為は，多面体定理を検証する上で差し障りない．
④辺を消して簡略化する
一番左の一辺を消してみました．
辺が１つ減る→面も一つ減る
よって，
（頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）＝２
辺の数−１，面の数−１されても，等式に影響はない．
（この行為も差し障りない．）
辺と面の関係を確認しながら，簡略化を進めます．
（左，下，右の辺を消した状態が下図）
一番上の辺も消せそう．
しかし，この辺を消すと斜めの辺が中途半端に残ってしまう．
→２本一気に消してはどうだろうか．
辺が２本消える→面は１つ減る＋頂点も１つ消える
頂点の数−１、辺の数−２、面の数−１です．
（頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）＝２なので，
お互いが打ち消しあって，等式は崩れない．
（この行為は差し障りない．）
辺と面の関係を確認しながら，簡略化を進めます．
１つの三角形だけが残りました．
これ以上，多面体定理に干渉することなく簡略化することはできません．
結果
三角形の場合で，多面体定理を見ていきましょう．
頂点の数＝３つ
辺の数＝３つ
面の数＝１つ
また，一番初めに面を一つ消している（①の行為）ので，今このタイミングで元に戻すことにします．
頂点の数＝３つ
辺の数＝３つ
面の数＝１つ＋１つ
（頂点の数）ー（辺の数）＋（面の数）＝３ー３＋２＝２
多面体定理どおりになりました．
多面体定理を直観的に理解するための検証でした．
また，今回はわかりやすいように立方体を使いましたが，どの多面体でも同じ原理で実験できます．興味があればどうぞ．
最後に
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