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解析接続をほんの少しだけかじる【解析接続】

解析学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

この記事の目的：「解析接続」とは何かわかるようになる．

はじめに
説明の前に
-1/12の謎
どうしてこうなるのか
- 等比数列の無限和
- 結論
解析接続とは
最後に

説明の前に

解析接続の説明の前に，この問題について考えてみます．

問題

$1+2+3+4+…=$ ？

普通に考えれば， $1+2+3+4+…=\infty$

正の無限大に発散することがわかります．

しかし，解析接続の考え方で解くと，

$\displaystyle 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$

結果が定数で得られます．

この結果が得られる過程から，話を進めていきます．

それでは．

-1/12の謎

目標： $\displaystyle 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$ の計算結果を理解する．

SaとSb

$S_a$ と $S_b$ を以下のように定義する．

$\displaystyle S_a=1+2+3+4+5+6+…$

$\displaystyle S_b=1-2+3-4+5-6+…$ （ $S_a$ の交代級数）

$(S_a-S_b)$ を考えると，

f:id:uchii-room:20190307001727p:plain

$S_a-S_b=4(1+2+3+…)$

$S_a-S_b=4S_a$

$\displaystyle S_a=-\frac{1}{3}S_b$ …(1)

Sbの値を考える

$\displaystyle S_b=1-2+3-4+5-6…$

$S_c$ を以下のように定義する．

$S_c=1-1+1-1+1-1+…$

$S_b$ をずらして以下のように計算する．

f:id:uchii-room:20190307002621p:plain

$2S_b=1-1+1-1+1-1+…$

$2S_b=S_c$ …(2)

$S_c$ も同様にずらして計算する．

f:id:uchii-room:20190307003048p:plain

$2S_c=1$

$\displaystyle S_c=\frac{1}{2}$ …(3)

式(2)(3)より，

$2S_b=S_c$

$\displaystyle\therefore S_b=\frac{1}{4}$ …(4)

Saの値を求める

式(1) $\displaystyle S_a=-\frac{1}{3}S_b$

式(4) $\displaystyle S_b=\frac{1}{4}$

(1),(4)より，

$\displaystyle S_a=-\frac{1}{12}$

$\displaystyle \therefore 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$

$\displaystyle 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$ が得られた．

どうしてこうなるのか

ふつうに考えれば $\displaystyle 1+2+3+4+…$ は正の無限大に発散する．

しかし以上の計算では $\displaystyle -\frac{1}{12}$ の値に定まった．

どこに原因があったのだろうか．

原因：

$\displaystyle S_c=1-1+1-1+1-1+…=\frac{1}{2}$

わかりやすいポイントはこの式にある．

本来，値は振動するため収束しないはずだが， $\displaystyle \frac{1}{2}$ に収束する結果が得られている．

等比数列の無限和

目的： $\displaystyle S_c=1-1+1-1+1-1+…=\frac{1}{2}$ について考える．

$S_c=1-1+1-1+1-1+…$

初項 $a=1$ , 公比 $r=-1$ の等比数列の無限和と捉えることにする．

ここで等比数列の無限和についてざっとまとめる．

等比級数 $a_n=ar^{n-1}$ のとき、その無限和 $S_\infty$ は，

・ $|r|≥1$ のとき：収束しない

・ $|r|\lt 1$ のとき： $\displaystyle S_\infty=\frac{a}{1-r}$

$\displaystyle S_\infty=\frac{a}{1-r}$ は $|r|\lt 1$ のときにしか保証されていない．

つまり， $|r|≥1$ のときは使うことができない式である．

今回の数列 $S_c$ は， $|r|≥1$ であるため， $\displaystyle S_n=\frac{a}{1-r}$ は使えない．

しかし今回は試しに使ってみることにする．

$\displaystyle S_n=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle S_c=1-1+1-1+1-1+…=\frac{1}{2}$ と同じ結果が得られた．

つまり，数列 $S_c$ は本来収束しないが，もし収束すると仮定して計算したところ，

その収束値は $\displaystyle \frac{1}{2}$ になるらしい．

結論

$\displaystyle 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$ になる原因をまとめる．

$\displaystyle S_c=1-1+1-1+1-1+…$ の計算について，定義域 $|r|\lt 1$ にのみ成立する式， $\displaystyle S_\infty=\frac{a}{1-r}$ に対して定義域を勝手に拡張して計算したため．

$|r|\lt 1$ のとき、 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1-r}$

↓（勝手に拡張）

$r\in \mathbb{R}$ のとき、 $\displaystyle S_n=\frac{a}{1-r}$

↓

$\displaystyle S_c=1-1+1-1+1-1+…=\frac{1}{2}$ が得られた．

↓

$\displaystyle 1+2+3+4+…=-\frac{1}{12}$

解析接続とは

目標：解析接続をイメージでつかむ．

ようやく解析接続の話です．

解析接続：定義域の限定された関数について，その定義域を拡張して考えること．

本来，定義域を勝手に拡張することはできないが，もし拡張できたらどうなるかを考える．

$\displaystyle S_\infty=\frac{a}{1-r}$ （ $a=1$ , $-1\lt r\lt 1$ ）

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定義域の拡張

$\displaystyle S_\infty=\frac{a}{1-r}$ （ $a=1$ , $r\in\mathbb{R}$ ）

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グラフが伸びたことが確認できます．

言い方を変えれば，解析接続とは「途中で切れているグラフの道筋を予想して伸ばしてあげる」こととも言えるかもしれません．

最後に

全記事をまとめてあります．

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uchii-memo.hatenablog.com