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階乗を関数にして考えてみる【階乗】

解析学

 

はじめに 

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

 この記事の目的：階乗を表す「パイ関数」とその計算例を紹介する．

 

階乗とは

1!=1

2!=2\times1

3!=3\times2\times1

4!=4\times3\times2\times1

n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times…2\times1

 

一般にnは自然数である（n\in\mathbb{N}）

 

階乗をグラフ化する

階乗を次のように座標平面に表す．

0!=1→(x,y)=(0,1)

1!=1→(1,1)

2!=2→(2,2)

3!=6→(3,6)

n!　　→(n,n!)

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n\in\mathbb{N}の離散的なグラフを作ることができた．

階乗n! はn\in\mathbb{N}（自然数のみ）でしか定義されていないため，n\in\mathbb{R}（実数全体）にして話を進めてみたい．

 

無理やり連続にさせてみる．

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もしこのような連続的な関数を表現できたならば，n\in\mathbb{R}で階乗を検討することができそうだ．

 

この記事の目的：階乗を表す「パイ関数」とその計算例を紹介する．

 

階乗を表す関数

階乗を表す関数は存在する．

特殊関数（名前の付いている特別な関数）のうちの「パイ関数」がそれにあたる．

 

パイ関数：\displaystyle \Pi(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t} dt

 

\displaystyle y=\Pi(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t} dt

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パイ関数が階乗を表す理由

目標：パイ関数が階乗を表す理由を明らかにする．

 

以下が成立することを検証する．

階乗n!を表す関数f(n)が存在するならば，その関数について以下が成り立つはず．

 

(1) f(1)=1  （1!=1のこと）

 

(2) f(n)=nf(n-1)  （n!=n\cdot(n-1)!のこと）

 

 

\displaystyle \Pi(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t} dt

条件(1)の確認

\displaystyle \Pi(1)=\int_0^\infty te^{-t} dt

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a te^{-t} dt

部分積分．

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\left[-te^{-t}\right]_0^a-\int_0^a-e^{-t} dt\right)

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\left[-te^{-t}-e^{-t}\right]_0^a\right)

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(-ae^{-a}-e^{-a}+0e^{-0}+e^0\right)

　\displaystyle =1+\lim_{a\rightarrow\infty}\left(-ae^{-a}-e^{-a}\right)

　\displaystyle =1+0

\therefore\Pi(1)=1→条件(1)OK！

 

条件(2)の確認

\displaystyle \Pi(n)=\int_0^\infty t^ne^{-t} dt

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a t^ne^{-t} dt

部分積分．

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\left[-t^ne^{-t}\right]_0^a-\int_0^a-nt^{(n-1)}\,\,e^{-t} dt\right)

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(-a^ne^{-a}+0^ne^{-0}-\int_0^a-nt^{(n-1)}\,\,e^{-t} dt\right)

　\displaystyle =0+n\int_0^\infty t^{(n-1)}\,\,e^{-t} dt

　\displaystyle =n\Pi(n-1)

\therefore\Pi(n)=n\Pi(n-1)→条件(2)OK!

 

条件(1),(2)ともに成立したため，パイ関数\Pi(x)は階乗x!を表す関数とわかった．

 

まとめ

 

\displaystyle \Pi(n)=\int_0^\infty t^ne^{-t} dt は階乗n!を表す関数である．

\Pi(n)=n!

 

 

階乗の定義をn\in\mathbb{R}（実数全体）にすることができた．

以下，パイ関数を使って階乗を計算してみる．

 

パイ関数を用いた計算例

(1/2)!

\displaystyle x=\frac{1}{2} のときのパイ関数の値を考えれば良い．

 

\displaystyle \Pi\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty t^{\frac{1}{2}}e^{-t} dt

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a t^{\frac{1}{2}}e^{-t} dt

\displaystyle u=t^{\frac{1}{2}} と置換する．

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a ue^{-u^2}2u du

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a -u\cdot-2ue^{-u^2} du

部分積分．

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\left[-ue^{-u^2}\right]_0^a-\int_0^a -e^{-u^2} du\right)

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(-ae^{-a^2}+-0e^{-0^2}+\int_0^ae^{-u^2} du\right)

　\displaystyle =\int_0^\infty e^{-u^2} du

ガウス積分より，

　\displaystyle =\frac{\sqrt{\pi}}{2}

\displaystyle \therefore\Pi\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

 

記事：【ガウス積分】について少しだけ考える

  

0!

x=0のときのパイ関数の値を調べればいい．

 

\displaystyle\Pi(0) =\int_0^\infty t^0e^{-t} dt

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\int_0^a e^{-t} dt

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}\left[-e^{-t}\right]_0^a

　\displaystyle =\lim_{a\rightarrow\infty}(-e^{-a}+e^0)

　\displaystyle =1

\therefore 0!=1

 

ガンマ関数 

階乗を表す関数は，パイ関数以外にも存在する．

これもまた特殊関数の一つ「ガンマ関数」である．

ガンマ関数：\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{(x-1)}e^{-t} dt

 

パイ関数と比較すればわかりますが，パイ関数とほとんど形は変わりません．

よってガンマ関数も階乗を表すことは明らかです．

ここでは紹介まで．

 

まとめ

・パイ関数は階乗を表す関数である．

　パイ関数：\displaystyle \Pi(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t} dt

・パイ関数を用いることで，階乗の定義が実数全体に広げられる．

　\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

　0!=1

・パイ関数だけでなくガンマ関数も階乗を表す関数の一つである．

 

最後に

全記事をまとめてあります．

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