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【ガウス積分】について少しだけ考える

解析学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

この記事の目的：ガウス積分公式を導出する．

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

はじめに
ガウス積分
導出１：重積分を使う
導出２：ガンマ関数を使う
ガウス積分の応用例
最後に

ガウス 積分

ガウス積分：ネイピア数 $e$ の肩に二次関数が乗っている関数の積分

例： $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$

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様々な場面で登場し計算することが多い．

よく用いられるため，計算結果が公式化されている．

よく知られている公式

(1) $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi}$

(2) $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

今回は上式の公式(2)を２つの方法で導出していく．

・重積分を使う方法

・ガンマ関数を使う方法

この記事の目的：下式を導出する

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

導出１：重積分を使う

$I=\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx$ とおく．

$I^2$ を考える．

$I^2=\displaystyle \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx\right)^2$ にするのではなく，あえて以下のようにする．

$\displaystyle I^2=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ay^2} dy\right)$

　 $\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}e^{-ay^2} dxdy$

　 $\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-a(x^2+y^2)}dxdy$

$x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ （極座標）に置換する．

注意： $dxdx\rightarrow drd\theta$ のための修正値（ヤコビアン）より $r$ がつく．

$\displaystyle I^2=\int_0^\infty\int_0^{2\pi} e^{-ar^2}r\cdot d\theta dr$

　 $\displaystyle =2\pi\int_0^\infty re^{-ar^2} dr$

　 $\displaystyle =\lim_{t\rightarrow\infty} 2\pi\int_0^t re^{-ar^2} dr$

　 $\displaystyle =\lim_{t\rightarrow\infty} 2\pi\left[\frac{1}{2a}e^{-ar^2}\right]_0^t$

　 $\displaystyle =\lim_{t\rightarrow\infty} 2\pi\frac{1}{2a}\left(e^{-at^2}-e^{-a0^2}\right)$

$\displaystyle I^2=\frac{\pi}{a}$

$\displaystyle I=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

導出２：ガンマ関数を使う

ガンマ関数 $\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{(x-1)}e^{-t} dt$

$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のガンマ関数を考える．

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$

$t=ax^2$ と置換する．

　 $\displaystyle =\int_0^\infty \frac{e^{-ax^2}}{\sqrt{a}x} 2ax\cdot dx$

　 $\displaystyle =2\sqrt{a}\int_0^\infty e^{-ax^2} dx$

ガウス積分 $\displaystyle \int_0^\infty e^{-ax^2} dx$ の値を $I$ とおく．

　 $\displaystyle =2\sqrt{a}\cdot I$

$\displaystyle \therefore\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2\sqrt{a}\cdot I$ …(1)

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ の値がわかれば， $I$ が求められそう．

ガンマ関数とベータ関数の関係性を利用して， $\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求める．

ガンマ関数 $\Gamma(x)$ とベータ関数 $B(x)$ の関係性

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\Gamma(1)B\left(\frac{1}{2,}\frac{1}{2}\right)=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$

記事：ガンマ関数とベータ関数の関係式について

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}dx$

$x=\sin^2\theta$ と置換する．

　 $\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)}}2\sin\theta\cos\theta\cdot d\theta$

　 $\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}d\theta$

　 $\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2d\theta$

　 $=\pi$

$\displaystyle \therefore\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ …(2)

(1)(2)より，

$\displaystyle I=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2\sqrt{a}}$

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

$\displaystyle \therefore \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

ガウス 積分の応用例

目的：正規分布（ガウス分布）について紹介する．

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統計学などで用いられる「正規分布」は別名「ガウス分布」と呼ばれています．

実際に確率密度関数を見るとよくわかります．

正規分布の確率密度関数：

　 $\displaystyle f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

標準正規分布の確率密度関数：

　 $\displaystyle f(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

ガウス積分の被積分関数：

　 $\displaystyle F(x)=e^{-ax^2}$

確率密度関数とガウス積分の被積分関数が同じ形をしていることがわかります．

正規分布についてよく登場する $\sqrt{\pi}$ についても，ガウス積分の結果に登場します．

ガウス積分の結果が公式化されているため，その導出方法を紹介してみました．

最後に

全記事をまとめてあります．

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