ガンマ関数とベータ関数の関係式

$\displaystyle B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

はじめに

全記事をまとめてあります．

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uchii-memo.hatenablog.com

この記事の目的：ガンマ関数とベータ関数の関係式を導出する．

はじめに
ガンマ関数，ベータ関数
関係式の導出
最後に

ガンマ関数，ベータ関数

特殊関数と呼ばれる関数

ガンマ関数： $\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}\space e^{-t} \space dt$

ベータ関数： $\displaystyle B(x,y)=\int_0^\infty t^{x-1}\space (1-t)^{y-1}\space dt$

２関数の関係式は以下のように表せる．

$\displaystyle B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

以下，上式の関係式を導出する．

関係式の導出

関係式： $\displaystyle B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ を導出する．

1. ガンマ関数の別表現

$\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}\space e^{-t} \space dt$

$\displaystyle t=r^2$ に変換

　 $\displaystyle =\int_0^\infty r^{2(x-1)}\space e^{-r^2} \space 2rdr$

　 $\displaystyle =2\int_0^\infty r^{2x-1}\space\space e^{-r^2} \space dr$

2. ベータ関数の別表現

$\displaystyle B(x,y)=\int_0^\infty t^{x-1}\space (1-t)^{y-1}\space dt$

$\displaystyle t=\sin^2\theta$ に変換．

　 $\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2(x-1)}\space\theta\space (1-sin^2\theta)^{y-1}\cdot 2\sin\theta\cos\theta\cdot d\theta$

　 $\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-2}\space\theta\space cos^{2y-2}\space\theta\space 2\sin\theta\cos\theta d\theta$

　 $\displaystyle =2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}\space\theta\space cos^{2y-1}\space\theta\space d\theta$

関係式の導出

指針： $\Gamma(x)\cdot\Gamma(y)=\Gamma(x+y)\cdot B(x,y)$ をつくる．

$\displaystyle \Gamma(x)\cdot\Gamma(y)$

　 $\displaystyle =\left(2\int_0^\infty u^{2x-1}\space\space e^{-u^2} \space du\right) \left(2\int_0^\infty v^{2y-1}\space\space e^{-v^2} \space dv\right)$

　 $\displaystyle =4\int_0^\infty\int_0^\infty u^{2x-1}\space\space e^{-u^2} \space \cdot v^{2y-1}\space\space e^{-v^2} \space dudv$

　 $\displaystyle =4\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(u^2+v^2)} \space\space u^{2x-1}\space v^{2y-1}\space dudv$

$u=r\cos\theta$ , $v=r\sin\theta$ （極座標）に変換．

注意： $dudv\rightarrow drd\theta$ の修正値（ヤコビアン）より $r$ がつく．

　 $\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty e^{-(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)} \space\space\space (r\cos\theta)^{2x-1}\space\space (r\sin\theta)^{2y-1}\space\cdot r\cdot drd\theta$

　 $\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty e^{-r^2} \space (r\cos\theta)^{2x-1}\space\space (r\sin\theta)^{2y-1}\space\space rdrd\theta$

整理すると，

　 $\displaystyle =2\int_0^\infty e^{-r^2}\cdot r^{2x-1}\cdot r^{2y-1}\cdot rdr\cdot 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2x-1}\space\theta\sin^{2y-1}\space\theta d\theta$

　 $\displaystyle =\left(2\int_0^\infty e^{-r^2}\space r^{2(x+y)-1}\space\space dr\right)\left(2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2x-1}\space\theta\sin^{2y-1}\space\theta d\theta\right)$