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曲率半径を計算する式を考える【曲率】

幾何学 解析学

 

はじめに 

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

この記事の目的：「曲率半径」を理解する．

 

 

曲率半径の意味

意味：曲線の微小な一部分を円弧とみなしたときその円弧の半径 

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曲線y=f(x)上の点Aから曲線に沿って\Delta sだけ移動した点をBとする．\Delta s部分を円弧とみなし，その円弧の中心を点O，角AOBを\Delta \alphaとする．

このとき，

円の半径\displaystyle R=\frac{\Delta s}{\Delta \alpha} と表すことができる．

ここで極限\Delta s\rightarrow 0をとると，

\displaystyle R=\lim_{\Delta s\rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta \alpha}=\frac{ds}{d\alpha}

 

\therefore曲率半径\displaystyle R=\frac{ds}{d\alpha}

 

曲率半径の正負

式を見ればわかるが，曲率半径Rは正負どちらの値もとり得る．

半径が負値とは直観に反するが，しっかりと意味を持つ．

 

正負が持つ意味：

正負によって曲がる方向（\Delta\alphaの方向）を区別できる．

・R\gt0（正値）：半時計周りの向きに曲がる

・R\lt0（負値）：時計周りの向きに曲がる

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曲率半径の大小

曲率半径が大きいほど，曲がりが緩やかである．

曲率半径が小さいほど，曲がりは急である．

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曲率半径の計算方法

課題：\Delta\alpha，\Delta sを具体化する．

 

点Aから伸びる接線とx軸がなす角を\alphaとすると，

点Bから伸びる接線とx軸がなす角は(\alpha+\Delta\alpha)となる．

よって，\Delta\alphaは接線の傾きの増加分に対応するといえる．

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陽関数表示 の場合

対象：y=f(x) と表される曲線


点Aから伸びる接線の傾きは，

\displaystyle \tan\alpha=\frac{dy}{dx} なので，

（両辺同時に変形しています．）

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\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx…(2)

 

式(1)(2)より，

\displaystyle R(x)=\frac{ds}{d\alpha}

　\displaystyle =\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\cdot\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\frac{d^2y}{dx^2}}

　\displaystyle =\frac{\left\{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{d^2y}{dx^2}}

 

媒介変数（パラメータ）表示 の場合

対象：x=x(t),y=y(t) で表される曲線

 

点Aから伸びる接線の傾きは，

\displaystyle \tan\alpha=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

（両辺同時に変形しています．）

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\displaystyle ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt…(2)

 

(1),(2)より，

\displaystyle R(t)=\frac{ds}{d\alpha}

　\displaystyle =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\cdot\frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}{\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}}

　\displaystyle =\frac{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}}

 

曲率半径の計算

例題１

　y=x^2の(a,a^2)における曲率半径Rを求めよ．

\displaystyle R(x)=\frac{\left\{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{d^2y}{dx^2}} より，

\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x，\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=2なので，

\displaystyle R(x)=\frac{\left\{1+(2x)^2\right\}^\frac{3}{2}}{2}

\displaystyle R(a)=\frac{\left\{1+(2a)^2\right\}^\frac{3}{2}}{2}=\frac{(1+4a^2)^\frac{3}{2}}{2}

 

もっと具体的に，\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{4}\right) を考える．

\displaystyle R\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\left(1+4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)^\frac{3}{2}}{2}=4

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例題２

　x=t-\sin t，y=1-\cos t で表される曲線の曲率半径Rを求めよ．

\displaystyle R(t)=\frac{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}} より，

\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-\cos t，\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\sin t，\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sin t，\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}=\cos tなので，

\displaystyle R(t)=\frac{\left\{(1-\cos t)^2+(\sin t)^2\right\}^\frac{3}{2}}{(1-\cos t)\cos t-\sin t\sin t}=\frac{(2-2\cos t)^\frac{3}{2}}{\cos t-1}=-2\sqrt{2-2\cos t}

 

もっと具体的に\displaystyle t=\frac{\pi}{2} のときを考える．

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-1

\displaystyle y=1-\cos\frac{\pi}{2}=1

\displaystyle R\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\sqrt{2-2\cos\frac{\pi}{2}}=-2\sqrt{2}

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曲率

意味：曲線上のある点における曲がり具合を表す指標

 

曲率半径Rの大小は以下のことを表していた．

曲率半径Rが大きいほど，曲がりが緩やか．

曲率半径Rが小さいほど，曲がりは急．

 

しかしこの関係はあまり直観的ではない． 

「大きければ曲がりが急」「小さければ曲がりが緩やか」

このほうが計算値と曲がり具合の関係性が直観的に理解できる．

 

よって曲率半径Rの逆数をとることにした．これに「曲率」と名前をつけた．

 曲率\displaystyle \kappa=\frac{1}{R}

 

まとめ

・曲率半径\displaystyle R=\frac{ds}{d\alpha}

　1. y=f(x)で表記できる曲線について

　　　\displaystyle R(x)=\frac{\left\{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{d^2y}{dx^2}}

　2. パラメータ表示（x=x(t),y=y(t)）で表記できる曲線について

　　　\displaystyle R(t)=\frac{\left\{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right\}^\frac{3}{2}}{\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2}}

 

・曲率\kappa：曲がり具合を示す指標

　\displaystyle \kappa=\frac{1}{R} 

 

最後に

全記事をまとめてあります．

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