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【x^y=y^x】がつくる曲線について考える

解析学 高校数学 特殊な解法

x^y=y^x

はじめに 

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

関数 x^y=y^x について

x^y=y^x

上式が成立する場合

1. x=yの場合

　x=yなので，yにxを代入すると，

　x^x=x^x

　上式が成立することは自明．

 

2. x\neq yの場合

　例えば x=2,\,y=4 のとき，2^4=16=4^2

　また x=4,\,y=2 のときも同様に，4^2=16=2^4

　とりあえず，(x,y)=(2,4),(4,2) でも上式は成立するとわかる．

 

グラフの概形

グラフの概形を先に示しておく（以下，記事内でグラフの概形を考察しています）．

直線と曲線の両方が出てくる．

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1. x=yの場合：直線x=y（オレンジ）

2. x\neq yの場合：曲線（青）

 

この記事の目的

・グラフの概形を調べる

・直線と曲線の交点を求める

 

 

解法１：「媒介変数表示」を利用する

目標：「媒介変数表示」を利用してグラフの概形，共有点の座標を求める．

媒介変数表示にする

x^y=y^x

y=tx とおくと，

x^{tx}=(tx)^x

両辺を\displaystyle \frac{1}{x} 乗すると，

x^t=tx

\displaystyle \frac{1}{x}\cdot x^t=t

x^{(t-1)}=t

両辺を\displaystyle \frac{1}{t-1} 乗すると，

\displaystyle x=t^{\frac{1}{t-1}}

 

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{x=t^{\frac{1}{t-1}}} \\ \displaystyle{y=t\cdot t^{\frac{1}{t-1}}} \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 

 曲線の概形１

目標：パラメータtに値を代入することで一部分の概形を調べる．

{\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{x=t^{\frac{1}{t-1}}} \\ \displaystyle{y=t\cdot t^{\frac{1}{t-1}}} \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 

tに値を入れてグラフの形を調べていく．

1. t=2 のとき

　x=2,\, y=4

　また同様に，x=4,\, y=2

 

2. t=3 のとき

　x=3^{\frac{1}{2}}=1.732…

　y=3\cdot 3^{\frac{1}{2}}=5.196…

　また同様に，x=5.196…,\, y=1.732…

 

以上の (x,y) の組み合わせを平面上にプロットしてみる．

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概形が見えてきた．

しかしまだ曲線の一部しか見えていない．

この曲線の両端はどのように推移するのだろうか？

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 曲線の概形２

目標：曲線の両端がどのように推移するか調べる． 

 

ざっくりとロピタルの定理をさらっておく．

ロピタルの定理

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \space\frac{f(x)}{g(x)} が\displaystyle \frac{0}{0}または\displaystyle \frac{\infty}{\infty} の形（不定形）をとる場合，以下が成り立つ．

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a} \space\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \space\frac{f'(x)}{g'(x)}

 

 

1. t\rightarrow\infty を考える

　\displaystyle x=\lim_{t\rightarrow\infty}t^{\frac{1}{t-1}}

　\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow\infty} \,\log{t^{\frac{1}{t-1}}}

　\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow\infty} \,\frac{\log t}{t-1}

　 右辺は不定形なのでロピタルの定理を適用する．

　\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow\infty} \,\frac{(\log t)'}{(t-1)'}=\lim_{t\rightarrow\infty} \,\frac{\frac{1}{t}}{1} 

　\log x=0

　x=1

 

　\displaystyle y=\lim_{t\rightarrow\infty}t\cdot t^{\frac{1}{t-1}}=1\cdot \lim_{t\rightarrow\infty}t=\infty

 

　\therefore xは１に収束し，yは正の無限大に発散する．

 

2. t\rightarrow +0 を考える

　\displaystyle x=\lim_{t\rightarrow +0} t^{\frac{1}{t-1}}

　=\infty

 

　\displaystyle y=\lim_{t\rightarrow +0} t\cdot t^{\frac{1}{t-1}}

　\displaystyle y=\lim_{t\rightarrow +0} t^{\frac{t}{t-1}}

　\displaystyle \log y=\lim_{t\rightarrow +0} \,\log{t^{\frac{t}{t-1}}}

　\displaystyle \log y=\lim_{t\rightarrow +0} \,\frac{t\log t}{t-1}

　\displaystyle \log y=-1\cdot \lim_{t\rightarrow +0} \,t\log t

　\displaystyle \log y=-1\cdot \lim_{t\rightarrow +0} \,\frac{1}{\frac{1}{t}}\log t

　右辺は不定形なのでロピタルの定理を適用する．

　\displaystyle \log y=-1\cdot\lim_{t\rightarrow +0} \,\,\frac{1}{-\frac{1}{t^2}}\frac{1}{t} 

　\displaystyle \log y=-1\cdot\lim_{t\rightarrow +0} \,\,-t 

　\log y=0

　y=1

 

　\therefore x は正の無限大に発散し，y は１に収束する．

 

曲線の概形３

目標：曲線の概形を可視化する．

 

1. xが１に近づくとyは無限大に発散する

2. xが正の無限大に大きくなるとyは１に収束する

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グラフの共有点は？

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このグラフの共有点の座標を求める．

 

媒介変数表示に変換する時に，y=tx とおいた．

→共有点は t=1 のときの点である．

 

t=1 のときの(x,y) を求めていく．

x=1^{\frac{1}{1-1}}=1^{\frac{1}{0}}=?

→ただ代入するだけは計算できない．


極限を使うことにする．

\displaystyle x=\lim_{t\rightarrow 1} t^{\frac{1}{t-1}}

\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow 1} \log t^{\frac{1}{t-1}}

\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow 1} \frac{\log t}{t-1}

右辺は不定形なのでロピタルの定理を適用する．

\displaystyle \log x=\lim_{t\rightarrow 1} \frac{\frac{1}{t}}{1}

\displaystyle \log x=1

x=e

 

よって，共有点の座標は(e,e)

 

解法２：関数 F(n)を導入する 

関数F(n)を導入することで，共有点の座標を求める．

関数 F(n)を導入する

 x^y=y^x

両辺を\frac{1}{xy} 乗する．

x^{\frac{1}{x}}=y^{\frac{1}{y}}

 

ここで，関数 F(n)=n^{\frac{1}{n}}を考える．

F(n)=n^{\frac{1}{n}}

x^{\frac{1}{x}}とは，F(n)のnにxを代入したものであると捉えることができる．

すなわちF(n)に対して，x^{\frac{1}{x}}=F(x)と表すことができる．

同様にy^{\frac{1}{y}}=F(y)である．

 

x^{\frac{1}{x}}=y^{\frac{1}{y}} と考えると難しそうだが， F(n)=n^{\frac{1}{n}}を介すことで，F(x)=F(y)とシンプルに考えることができそうだ．

 

関数F(n)について

目標：増減表を用いてF(n)の概形を調べる.

F(n)=n^{\frac{1}{n}}

 

1. 微分をする（logを使って微分）

　F(n)=n^{\frac{1}{n}}

　\log F(n)=\log n^{\frac{1}{n}}

　\displaystyle \log F(n)=\frac{1}{n}\log n

　両辺を微分して（右辺は積の微分法）

　\displaystyle \frac{F'(n)}{F(n)}=-\frac{1}{n^2}\log n+\frac{1}{n}\frac{1}{n}

　\displaystyle \frac{F'(n)}{F(n)}=\frac{1}{n^2}(-\log n+1)

　\displaystyle F'(n)=F(n)\cdot\frac{1}{n^2}(-\log n+1)

　\displaystyle F'(n)=n^{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n^2}(-\log n+1)

 

2. F'(n)=0を調べる

　\displaystyle 0=n^{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n^2}(-\log n+1)

　0=-\log n+1

　\log n=1

　n=e

 

3. 増減表にまとめる

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x=e のときが最大，上に凸のグラフ

 

実際のグラフ

F(n)=n^{\frac{1}{n}}

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関数 F(n)について，F(x)=F(y)を考える 

F(n)=n^{\frac{1}{n}}のグラフ

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F(n)=F(n_1)=F(n_2)の場合，F(n)とn_1,n_2の関係をグラフ上に表すと以下のようになる．

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もう少しグラフを簡略化して位置関係をわかりやすくした．

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F(n_1)=F(n_2)が成り立つとき，n_1≤eかつn_2≥eがいえる．

n_1,n_2はかならずeを挟むような位置関係になるといえる．

eの地点で最大値をとり，上に凸になっているため考えると当たり前のことである．

 

n_1,n_2で説明したが，x,yでも同様にいえる．

F(x)=F(y),x≤y が成り立つとき，x≤e,y≥eがいえる．

 

直線と曲線との共有点の座標は？

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直線はx=yなので，F(n)についてF(x)=F(y)かつx=yが成立するものを考えればいい．

よって(x,y)=(e,e)とわかる．

 

まとめ 

・x^y=y^xのグラフ

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・直線と曲線の共有点は(e,e)

 

最後に

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

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