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【球体の体積】積分で求める方法

中学数学幾何学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

記事の目的：球体の体積を積分を用いて求める．

はじめに
球の体積
方法１：回転体として考える
求め方②球の表面積を用いる
- 考え方
- 計算
最後に

球の体積

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球の体積 $\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3$

目標：積分をつかって上式を導出する

２つの方法を考えました．

方法１：回転体として考える．

方法２：球体の表面積を使う．

方法１：回転体として考える

前提知識

原点中心，半径 $r$ の円の方程式： $x^2+y^2=r^2$

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考え方

円の上半分のみを考える．

$x$ 軸中心に回転させると球ができる.

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回転する前と後の関係を図式化した．

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回転した後の部分を円柱と捉えると，体積は以下のように表される．

$V_1=y^2\pi\times x$

この厚さが微小な円柱を積み重ねれば球ができる．

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・厚さをより微小に　 $x\rightarrow dx$

・積み重ねる＝積分する

$\displaystyle V=\int y^2\pi\,dx$

計算

円の方程式（ $x^2+y^2=r^2$ ）を変形

→ $y=\sqrt{r^2-x^2}$

$\displaystyle V=\int_{-r}^r y^2\pi dx$

　 $\displaystyle =2\pi\int_0^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2 dx$

　 $\displaystyle =2\pi\int_0^r \left(r^2-x^2\right) dx$

　 $\displaystyle =2\pi\cdot \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^3$

$\displaystyle \therefore V=\frac{4}{3}\pi r^3$

回転体の体積

関数 $f(x)$ をx軸周りに回転させてできる回転体の体積V

$\displaystyle V=\int f(x)^2\pi dx$

求め方②球の表面積を用いる

考え方

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図のように薄い球殻を集めると球体になる．

球の表面積は $S=4\pi r^2$ なので，

球殻１つの体積は（表面積）×（厚さ）= $4\pi R^2\cdot \Delta R$

計算

$\displaystyle V=\int_0^r 4\pi R^2\cdot dR$

　 $\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^3$

$\displaystyle \therefore V=\frac{4}{3}\pi r^3$

最後に

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