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【円錐は1/3】理由を積分を用いて考える

中学数学幾何学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

この記事の目的：錐形の体積を求める際に「３分の１」する理由を理解する．

はじめに
錐形は３分の１
説明①：断面積に注目する
説明②：回転体としてみる（円錐限定）
- 考え方
- 計算
最後に

錐形は３分の１

錐形の体積は柱形の体積の３分の１である.

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目標：３分の１の理由を説明する．

説明①：断面積に注目する

考え方

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底面積 $S$ ，高さ $h$ の三角錐を考える．

また位置 $t$ で切った時の断面積を $S(t)$ で表す．

このとき右図のような三角柱の体積は $S(t)\times \Delta t$ となる．

・右図のような三角柱を積み重ねる＝三角錐ができる

・ $\Delta t$ を小さくすればより三角錐に近くなる

以上より次の式が成り立つ．

$\displaystyle V=\int_0^h S(t)\cdot dt$ …(1)

S(t)とは

底面と断面は相似な図形である．

その相似比は，底面：断面 $=h : t$

よって面積比は，底面積 $S$ ：断面積S(t) $=h^2 : t^2$

$\displaystyle \therefore S(t)=\frac{t^2}{h^2}S$ …(2)

計算

(1) $\displaystyle V=\int_0^h S(t)\cdot dt$

(2) $\displaystyle S(t)=\frac{t^2}{h^2}S$

よって，

$\displaystyle V=\int_0^h \frac{t^2}{h^2}S\cdot dt$

　 $\displaystyle =\frac{h^3}{3}\frac{1}{h^2}S$

　 $\displaystyle =\frac{1}{3}Sh$

$\displaystyle \therefore V=\frac{1}{3}Sh$

説明②：回転体としてみる（円錐限定）

考え方

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１次関数 $f(x)=ax$ をx軸中心で回転させると，右図のような円錐ができる．

できる円錐は高さ $h$ ，底面積 $\pi a^2h^2$ （半径 $ah$ ）

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右図の青色部（円柱に見える）の体積は $\pi a^2x^2\times \Delta x$ ．

・この円柱を積み重ねる＝円錐ができる

・ $\Delta x$ を小さくするとより円錐に近くなる　 $\Delta x\rightarrow dx$

以上より，

$\displaystyle V=\int_0^h \pi a^2h^2\cdot dx$

計算

$\displaystyle V=\int_0^h \pi a^2x^2\cdot dx$

　 $\displaystyle =\pi a^2 \int_0^h \pi x^2\cdot dx$

　 $\displaystyle =\pi a^2\frac{h^3}{3}$

　 $\displaystyle = \frac{1}{3}\cdot \pi a^2h^2\cdot h$

$\displaystyle \pi a^2h^2=$ 底面積なので，

$\displaystyle \therefore V=\frac{1}{3}\cdot$ 底面積・高さ

回転体の体積

回転前の関数を $f(x)$ とすると，

$\displaystyle V=\int f(x)^2\pi \space dx$

最後に

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