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【球体の体積】中学生に分かるように真剣に考えてみた

中学数学 幾何学

 

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

この記事の目的：球体の体積を求める式の意味を中学生にもわかるように説明する．

 

球の体積

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体積\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

目標：上式で求まる理由を知る（積分等の高校数学を使わずに）

 

２つの方法を考えた．

方法①：微小な四角錐を考える 

考え方

球の中に図のような四角錐を考える．

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四角錐の底面積(S_1) はなるべく小さいものとする．

四角錐は底面積S_1，高さr であるため，体積は次式で表せる．

\displaystyle S_1\times r\times \frac{1}{3}=\frac{r}{3}S_1

 

この四角錐がたくさん集まると球になるのではないか．

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よって球の体積は，この三角錐をたくさん集めたものなので，

\displaystyle V=\frac{r}{3}S_1+\frac{r}{3}S_2+…+\frac{r}{3}S_{100}

　\displaystyle =\frac{r}{3}(S_1+S_2+…+S_{100})

 

(S_1+S_2+…+S_{100}) とは球の表面積に相当するため，

(S_1+S_2+…+S_{100})=4\pi r^2

 

よって，

　\displaystyle =\frac{r}{3}(S_1+S_2+…+S_{100})

　\displaystyle =\frac{r}{3}4\pi r^2

　\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^3

 

\therefore 球の体積\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3

 

方法②：カヴァリエリの原理を使う

カヴァリエリの原理 

カヴァリエリの原理

切り口の面積が常に等しい2つの立体は，等しい体積をもつ．

   

適当に二つの立体を準備して並べます．

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適当な位置で切ります．

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このときできた切り口の面積（ピンク）を確認します．

違う位置で同様の作業を行います．

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どの位置で切っても常に切り口の面積が等しい場合

＝２つの体積は等しい，といえる．

 

立体を二つ準備する

①球体

②砂時計型（下図の立体）

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砂時計型の体積を調べる．

円柱の体積＝\pi r^2\times 2r=2\pi r^3

三角錐の体積＝\displaystyle \pi r^{2}\times r\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\pi r^{3}

砂時計型の体積＝円柱-三角錐\displaystyle =2\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^{3}\times 2=\frac{4}{3}\pi r^3

  

砂時計型の体積は，球の体積の公式と同じ式で表される．

 

 指針（流れ）

あなたは今、球の体積を求める公式を知らないものとします．

砂時計型の体積＝球の体積を示すことで，

（砂時計型の体積＝\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}なので，）

球の体積＝\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3} を示すことができる．

 

カヴァリエリの原理を使う

①二つを並べて真ん中で切る

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どちらも半径rの円であるため，面積（ピンク）は等しいことは自明．

 

②中心から\displaystyle\frac{r}{2} の位置で切る

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(ⅰ) 球体の切り口＝半径\displaystyle\frac{\sqrt{3}r}{2} の円

　面積＝\displaystyle\frac{\sqrt{3}r}{2}\times\frac{\sqrt{3}r}{2}\times\pi=\frac{3}{4}\pi r^{2}

 

(ⅱ) 砂時計型の切り口＝半径r の円から半径\displaystyle\frac{r}{2} の円を切り抜いた形．

　面積＝\displaystyle\pi r^2-\left(\frac{r}{2}\times\frac{r}{2}\times\pi\right)=\frac{3}{4}\pi r^{2}

 

(ⅰ)(ⅱ)より，球体の切り口＝砂時計型の切り口

 

どうやらどの位置で切っても，切り口の面積は同じになりそうだ．

一般化して確認してみる．

 

一般化する

③中心からhの高さで切る（0≤ h ≤ r）

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(ⅰ) 球体の切り口＝半径\sqrt{r^{2}-h^{2}} の円

　面積＝\sqrt{r^{2}-h^{2}}\times\sqrt{r^{2}-h^{2}}\times\pi=\pi(r^{2}-h^{2})

 

(ⅱ) 砂時計型の切り口＝半径r の円から半径h の円を切り抜いた形

　面積＝\pi r^{2}-\pi h^{2}=\pi(r^{2}-h^{2})

 

(ⅰ)(ⅱ)より，球体の切り口＝砂時計型の切り口

 

したがってカヴァリエリの原理から2つの立体の体積は等しい

\therefore 球の体積＝砂時計型の体積\displaystyle =\frac{4}{3}\pi r^{3}

 

最後に

全記事をまとめてあります．

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