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【球体の表面積】積分で求める方法

中学数学 幾何学 高校数学

 

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

この記事の目的：球体の表面積を積分を用いて求める．

 

 球体の表面積

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球体の表面積\displaystyle S=4\pi r^2

目標：積分を用いて上式を導出する

 

方法を２つ考えました．

求め方１：微笑の範囲を考える方法

求め方２：球体の体積を用いる方法

 

求め方１：微小の範囲を考える方法

考え方

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青い部分の面積S_1を考える．

幅はr\Delta\theta、長さは2\pi r\cos\theta なので，

S_1=2\pi r^2 \cos\theta\cdot\Delta\theta

 

より微小な角度を考える.　\Delta\theta\rightarrow d\theta

球全体で積分する.　\displaystyle -\frac{\pi}{2}\lt r \lt \frac{\pi}{2} 


\displaystyle S=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi r^2\cos\theta\space d\theta

 

計算

\displaystyle S=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi r^2\cos\theta\space d\theta

　\displaystyle =4\pi r^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\space d\theta

　\displaystyle =4\pi r^2

 

\displaystyle \therefore S=4\pi r^2

 

求め方２：球の体積を用いる方法

考え方

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半径R の球の表面積をS(R) とおく．

この薄い球殻を集めると球体が完成する．

 

計算

球体の体積は\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^3 なので

\displaystyle \int_0^r S(R) dR=\frac{4}{3}\pi r^3

両辺、微分する

\displaystyle S(R)=4\pi r^2

 

\displaystyle \therefore S=4\pi r^2

 

最後に

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