うちーノート

少しでも数学好きが増えますようにというブログ

体積は有限，表面積は無限の図形【ガブリエルのラッパ】

幾何学解析学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

記事の目的：ガブリエルのラッパの表面積と体積を求める．

はじめに
ガブリエルのラッパ
ガブリエルのラッパをつくる
表面積を求める
体積を求める
- 計算
まとめ
最後に

ガブリエルのラッパ

ガブリエルのラッパとは

グラフ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\,\, (x≥ 1)$ を $x$ 軸周りに回転させてできる回転体である．

特徴

・体積は有限，なのに表面積は無限である．

・見た目がラッパのような形をしている．

イメージ図

f:id:uchii-room:20190508190847p:plain

備考

・大天使ガブリエルの名をとって「ガブリエルのラッパ」と呼ばれる．

（ガブリエル：最後の審判を告げる笛を吹くといわれる大天使）

・数学者トリチェリの名から「トリチェリのトランペット」とも呼ばれる．

記事の目的：ガブリエルのラッパの表面積と体積を求める．

ガブリエルのラッパをつくる

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\,\, (x≥1)$ をグラフ化する．

f:id:uchii-room:20190508182914p:plain

これを $x$ 軸回りに回転させる．

f:id:uchii-room:20190508181753p:plain

表面積を求める

目的：表面積が無限であることを示す．

f:id:uchii-room:20190508181753p:plain

指針：表面積を細かく輪切りにして調べる．

導入

表面積を幅 $\Delta x$ で輪切りして考える．

なお幅 $\Delta x$ における線分の長さを $\Delta L$ とする．

f:id:uchii-room:20190509164618p:plain

この輪切り１つ分の表面積は，

$\displaystyle S_1=2\pi\frac{1}{x}\cdot\Delta L$ …(1)

未知数は $\Delta L$ だけであり， $\Delta L$ を求めれば良さそう．

$\Delta L$ を求める

$\Delta x$ を十分に小さいものと考えれば， $\Delta L$ は直線であるとみなすことができる．

f:id:uchii-room:20190509170237p:plain

接線の傾きは $f'(x)$ で与えられる．よって幅１における斜辺の長さは以下のように表される（上図の右側、青文字）．

$\sqrt{1+f'(x)^2}$ （三平方の定理）

また $\Delta L$ は，幅 $\Delta x$ の斜辺の長さに相当するため，以下のように表される．

$\Delta L=\Delta x\sqrt{1+f'(x)^2}$ …(2)

よって表面積は？

輪切り一つ分の表面積は(1)式より，

$\displaystyle S_1=2\pi\frac{1}{x}\cdot\Delta L$

また(2)式より，

$\Delta L=\Delta x\sqrt{1+f'(x)^2}$

よって，

$\displaystyle S_1=2\pi\frac{1}{x}\cdot\Delta x\sqrt{1+f'(x)^2}$

$\Delta x\rightarrow dx$ にして積分でまとめると，表面積全体 $S$ は次のように表される．

$\displaystyle S=2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx$

計算

$\displaystyle S=2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx$

$\displaystyle \sqrt{1+f'(x)^2}\gt1$ なので

$\displaystyle S=2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx\gt 2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\, dx$

$\displaystyle S\gt 2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\, dx$

　 $=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}2\pi\int_1^n \frac{1}{x} \,dx$

　 $=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}2\pi\ln(n)$

　 $=\infty$

$\therefore \displaystyle S=2\pi\int_1^\infty \frac{1}{x}\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx=\infty$

表面積は無限

体積を求める

目的：体積が有限であることを示す．

f:id:uchii-room:20190508180254p:plain

回転体の体積は以下のように求められる．

回転体の体積

$f(x)$ を $x$ 軸周りに回転させてできる回転体の体積 $V$

$\displaystyle V=\pi\int_\beta^\alpha f(x)^2\, dx$

よって今回は以下の式で求められる．

$\displaystyle V=\pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\, dx$

計算

$\displaystyle V=\pi\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\, dx$

　 $\displaystyle =\lim_{n\rightarrow\infty}\pi\int_1^n \frac{1}{x^2}\, dx$

　 $\displaystyle =\lim_{n\rightarrow \infty}\pi\left(-\frac{1}{n}+1\right)$

　 $=\pi$

体積は有限

まとめ

表面積 $S=\infty$ →無限

体積 $V=\pi$ →有限

表面積は無限，体積は有限であることを示すことができた．

今回は一番有名なガブリエルのラッパの例を使いましたが、他にもたくさん研究されているそうです．

最後に

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com