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sin^n(x), cos^n(x)の積分【ウォリスの公式】

高校数学 解析学

 

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

 

この記事の目的：ウォリスの公式を導出する．

 

ウォリスの公式

ウォリスの公式

 

(1) nが奇数のとき

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

(2) nが偶数のとき

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx=\frac{\pi}{2}\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

※n!!とは二重階乗を表す（１つ飛ばしで階乗する）

例）4!!=4\times2

       7!!=7\times5\times3\times1

 

目標：ウォリスの公式を導出する．

 

まず順にn=1,2の場合から考えてみる．

 

n=1の場合

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx，\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx について，n=1を考える．

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin x\,dx=1

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x\,dx=1

 

\displaystyle \therefore\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x\,dx=1

 

n=2の場合

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx，\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx について，n=2を考える．

 

sin^2 x

 \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x\,dx 

 f:id:uchii-room:20190607232059p:plain

 \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x\,dx=\frac{\pi}{4} 

（半角公式の導出）

\displaystyle \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x（\cosの２倍角公式）…(1)

\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1（三角関数の基本式）…(2)

(1)(2)より\cos^2 xを消去して，

\displaystyle \cos 2x=(1-\sin^2 x)-\sin^2 x=1-2\sin^2 x

\displaystyle \therefore \sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}

（計算）

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx

　\displaystyle =\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

　\displaystyle =\frac{\pi}{4}

 

cos^2 x

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2 x\,dx 

f:id:uchii-room:20190607232048p:plain

 \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{4} 

（半角公式の導出）

\displaystyle \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x（\cosの２倍角公式）…(1)

\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1（三角関数の基本式）…(2)

同様に(1)(2)より\sin^2 xを消去して，

\displaystyle \cos 2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1

\displaystyle \therefore \cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}

（計算）

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2 x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx

　\displaystyle =\left[\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0

　\displaystyle =\frac{\pi}{4}

 

まとめ（n=2の場合）

 \displaystyle \therefore\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{4} 

 

n=3の場合

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx，\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx について，n=3を考える．

 

sin^3 x

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^3 x\,dx

f:id:uchii-room:20190607232105p:plain

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^3 x\,dx=\frac{2}{3}

 

cos^3 x

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^3 x\,dx

f:id:uchii-room:20190607232053p:plain

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^3 x\,dx=\frac{2}{3}

 

まとめ（n=3の場合）

\displaystyle \therefore\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos x\,dx=\frac{2}{3}

 

n値を一般化する 

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx，\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx を考える．

 

n=1,2,3の場合は簡単に計算できた．

次はn値を一般化して考えてみる．

sin^n xの積分

指針：部分積分を用いて漸化式を求める．

 

\displaystyle I_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dxとおく．

\displaystyle I_0=\frac{\pi}{2}, \,I_1=1は既知とする．

（以下、導出）

\displaystyle I_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin x\sin^{n-1}x\,dx

　\displaystyle =[-\cos x\sin^{n-1}x]^{\frac{\pi}{2}}_0+(n-1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^2 x\sin^{n-2}x\,dx

　\displaystyle =(n-1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (1-\sin^2x)\sin^{n-2}x\,dx

　\displaystyle =(n-1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 (\sin^{n-2}x-\sin^nx)\,dx 

　\displaystyle =(n-1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^{n-2}x\,dx-(n-1)\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^nx\,dx

　\displaystyle =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n

よって以下の漸化式が成立する．

\displaystyle \therefore I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}

 

nが奇数か偶数かによって判定が異なる．よって偶奇の場合分けをして考える．

(1) n＝奇数の場合

\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}なので，

\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=…=\frac{(n-1)!!}{n!!}I_1

I_1=1より，

\displaystyle \therefore I_n=\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

(2) n＝偶数の場合

\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}なので，

\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=…=\frac{(n-1)!!}{n!!}I_0

\displaystyle I_0=\frac{\pi}{2}より，

\displaystyle \therefore I_n=\frac{\pi}{2}\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

cos^n xの積分

\sin^n xと同様に計算すれば、結果は得られるだろう．

しかしもう一度計算しても面白くないため，\sin^n xの結果を利用したい．

 

指針：\displaystyle \sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)を利用する．

 

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,dx

\displaystyle \frac{\pi}{2}-x=tとおくと，

　\displaystyle =\int^0_{\frac{\pi}{2}} \cos^n t\,(-1)\cdot dt

　\displaystyle =\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n t\,dt

 

\displaystyle \therefore \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n x\,dx

 

sin xとcos xの対称性

目的：\sin^n xと\cos^n xの対称性について図で理解する．

 

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n x\,dx

以上の結果を図式化して確認してみる.

 

\sin^2x（左）と\cos^2x（右）

f:id:uchii-room:20190607232059p:plain = f:id:uchii-room:20190607232048p:plain

\sin^3x（左）と\cos^3x（右）

f:id:uchii-room:20190607232105p:plain = f:id:uchii-room:20190607232053p:plain

 

 \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n x\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n x\,dx

以上の結果が視覚的にも確認できる．

 

まとめ

ウォリスの公式

(1) nが奇数のとき

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

(2) nが偶数のとき

\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^nx\,dx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^nx\,dx=\frac{\pi}{2}\frac{(n-1)!!}{n!!}

 

無事に導出することができた．

 

最後に

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com