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sinx/x の積分【特殊な解法-2】

特殊な解法解析学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

問題

$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx$ を求めよ．

（備考）

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ はsinc(シンク)関数と呼ばれているらしい．

解法の手順

解法手順を以下にざっとまとめておく．

読み進める途中にわからなくなったら確認してほしい．

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解法

積分の基本定理

$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ とすると，定積分は以下のように表記できる．

$\displaystyle \int_b^a f(x) dx=F(a)-F(b)$

今回は上式を少し変形した式を使う．

$\displaystyle \int_0^t f'(s) ds=f(t)-f(0)$ …(1)

$f(t)$ の設定

$\displaystyle f(t)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$ を考える．…(2)

注意： $f(t)$ なので、 $t$ を変数とする関数である．

$f'(t)$ を考える

$\displaystyle f(t)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$

両辺を $t$ で微分する．

$\displaystyle f'(t)=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin x dx$

左辺の積分が計算できそうなのでしておく．

（ラプラス変換の形になっていますが，あえて計算してみましょう）

部分積分より，

$\displaystyle f'(t)=\frac{1}{t}[e^{-tx}\sin x]_0^\infty -\frac{1}{t}\int_0^\infty e^{-tx}\cos x dx$

$\displaystyle f'(t)=-\frac{1}{t}[e^{-tx}\cos x]_0^\infty+\frac{1}{t^2}\int_0^\infty e^{-tx}\sin x dx$

$\displaystyle f'(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t^2}f'(t)$

$\displaystyle \left(1-\frac{1}{t^2}\right)f'(t)=-\frac{1}{t^2}$

$\displaystyle\therefore f'(t)=-\frac{1}{t^2+1}$ …(3)

$f(0)$ を求める

$\displaystyle f(t)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$

$\displaystyle f(0)=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$ …(4)

積分の基本定理に代入する

(1)式より，

$\displaystyle \int_0^t f'(s) ds=f(t)-f(0)$

以上の計算から次式が得られた．

(2) $\displaystyle f(t)=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$

(3) $\displaystyle f'(t)=-\frac{1}{t^2+1}$

(4) $\displaystyle f(0)=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$

(1)式に代入すると，

$\displaystyle \int_0^t -\frac{1}{s^2+1}ds=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx-\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$

右辺が計算できそうなので計算しておく．

$\displaystyle \int_0^t -\frac{1}{s^2+1}ds=-\tan^{-1}t$

よって，

$\displaystyle -\tan^{-1}t=\int_0^\infty e^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx-\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$

両辺 $t\rightarrow \infty$ を考えると，

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}=0-\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$

$\displaystyle \therefore \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$ 　　

最後に

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