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log(sinx)の積分【特殊な解法-1】

特殊な解法解析学高校数学

はじめに

全記事をまとめてあります．

ぜひ下のリンクから確認してください．

uchii-memo.hatenablog.com

問題

$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx$ を求めよ．

$f(x)=\log(\sin x)$

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$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx$

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（備考）

$f(x)=\log(\sin x)$ において $f(0)$ は定義されないため，広義積分が必要．

$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx=\lim_{t\rightarrow 0} \int_t^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx$

解法

対称性を利用する

$\displaystyle I=\int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx$ とおく．

積分範囲を倍に広げる． $0\lt x≤\frac{\pi}{2}\rightarrow 0\lt x\lt \pi$

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積分範囲を広げたことで以下がわかる．

$\displaystyle 2I=\int_0^\pi \log(\sin x)\space dx$

倍角の公式より，

　 $\displaystyle =\int_0^\pi \log\left(\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)\right)\space dx$

　 $\displaystyle =\int_0^\pi \log\left(2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\right)\space dx$
対数の性質より，

　 $\displaystyle =\int_0^\pi \left(\log2+\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)+\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\right)\space dx$

　 $\displaystyle =\int_0^\pi \log2\space dx+\int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx+\int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx$ …(1)

$\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx$ について

$\displaystyle I=\int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx$ （左）

$\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx$ （右）

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x軸方向に２倍に拡大されていることがわかる．

よって面積も２倍になっている．

$\displaystyle \therefore \int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx=2I$ …(2)

$\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx$ について

$\displaystyle 2I=\int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx$ （左）

$\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx$ （右）

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面積が同じことがわかる．

$\displaystyle \therefore \int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx=2I$ …(3)

式の代入

(1) $\displaystyle 2I=\int_0^\pi \log2\space dx+\int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx+\int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx$

(2) $\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\sin\frac{x}{2}\right)\space dx=2I$

(3) $\displaystyle \int_0^\pi\log\left(\cos\frac{x}{2}\right)\space dx=2I$

(1)の式に(2)(3)を代入する

　 $\displaystyle 2I=\int_0^\pi \log2\space dx+2I+2I$

$\displaystyle -2I=\int_0^\pi \log2\space dx$

　 $\displaystyle I=-\frac{1}{2}\int_0^\pi \log2\space dx$

　 $\displaystyle I=-\frac{1}{2}\pi\log 2$

$\displaystyle \therefore \int_0^\frac{\pi}{2} \log(\sin x)\space dx=-\frac{1}{2}\pi\log 2$

最後に

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