【円錐は1/3】中学生に分かるように真剣に考えてみた
はじめに
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この記事の目的：錐形を求める際に「３分の１」する理由を中学生にも分かるように説明する．
錐形は３分の１
錐形の体積は柱形の体積の３分の１である．
目標：３分の１の理由を説明する．（積分等の高校数学を使わずに）
指針
①特別な四角錐を考える
②特別な三角錐を考える
③錐体の体積の求め方の根本を考える
④体積を拡縮してみる
①特別な四角錐を考える
底面積が一辺の正方形，高さが
の四角錐を考える．
これを6つ組み合わせる．
この立方体の体積＝
1つの四角錐の体積は次式で表される．
四角錐の体積＝
→「底面積×高さ×」 になっている．
②特別な三角錐を考える
これを３つうまく組み合わせる．
三角柱の体積＝
よって，1つの三角錐の体積は次式で表される．
三角錐の体積＝
→「底面積×高さ×」になっている．
③錐体の体積の求め方の根本を考える
錐体の体積の求め方：底面積×高さ×
→底面積と高さの２つ要素が分かれば体積が分かる．
→形が変形しても底面積と高さが変化しなければ体積も変わらない．
①下図の３つの立体は同じ体積（底面積も高さも同じ）
→底面積×高さ× が成り立つ
②回転しても体積は変わらない．
→底面積×高さ× が成り立つ．
この２つのことを駆使すれば，
・同じ体積で形の違う錐形をいくらでも作ることができる．
・そこでできた立体は全て「体積＝底面積×高さ× 」が成り立つ．
④体積が変わると？
では体積が変わるとどうなるのか．
体積が変わっても「底面積×高さ×」が成り立つのか．
高さは変わらず，底面積だけを縮小した２つの立体を考えてみる．
底面積をそれぞれ、
と表す．
この２つの立体を適当に切ってみると、
どこで切っても切り口の面積は、 になる．
→この２つの立体の体積は の関係にある．
底面積×高さ× が成り立つことは説明済みである．
左の三角錐の体積は，
× 高さ ×
× 高さ ×
→「底面積×高さ×」 になる．
体積が変わっても成り立つ．
最後に
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